Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство

Из свойства 1⁰ п. 35 следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АBС и А₁B₁С₁, у которых углы С и C₁ — прямые, АB = А₁B₁, BС = B₁С₁ (рис. 133, а, б). Докажем, что АВС = A₁B₁C₁.

рис. 133

Так как ∠C = ∠Csub>1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁B₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁B₁. Поскольку СB = С₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Но тогда вершины А и А₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник А₁В₁А₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны (на рисунке 133, б ∠A₂ — острый, a ∠A₁ — тупой как смежный с острым углом В₁А₁С₁). Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А₁В₁С₁, т. е. они равны. Теорема доказана.